Cho 0 ∘ < α < 90 ∘ thỏa mãn đẳng thức sin α + cos α = √ 2 . Giá trị của tan α + cot α là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + 2.\sin \alpha .\cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 2\]

\[ \Leftrightarrow \sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{1}{2}\]

Với \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) ta có: \[\tan \alpha  + \cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} + \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha .\sin \alpha }} = \frac{1}{{{\rm{cos}}\alpha .\sin \alpha }}\]

\[ \Rightarrow \tan \alpha  + \cot \alpha  = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\].