Chiều dài ngắn nhất của đoạn đường nối hai phần lát gạch là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Gọi \(M\left( {x; - 3{x^2}} \right) \in \left( P \right)\) với \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(IM\)nhỏ nhất.

Ta có \(IM = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3{x^2} - 2} \right)}^2}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( { - 3{x^2} - 2} \right)^2}\).

Có \(f'\left( x \right) = 2\left( {x - 2} \right) + 2\left( { - 3{x^2} - 2} \right) \cdot \left( { - 6x} \right) = 2x - 4 + 36{x^3} + 24x\);

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \approx 0,15\).

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = 34;f\left( {0,15} \right) \approx 7,69;f\left( 1 \right) = 26\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) là \(7,69\).

Giá trị nhỏ nhất của \({\mathop{\rm I}\nolimits} M\) là 2,77 đơn vị độ dài và bằng 27,7 m.

Do đó độ dài ngắn nhất của đoạn đường nối hai phần lát gạch là \(27,7 - 10 = 17,7\)(m). Chọn A.