Chiều dài bé nhất của cái thang là 0 , 5 m kể từ gốc của cột đỡ như hình vẽ. (làm tròn 4 chữ số sau dấu phẩy)

Đáp án đúng là: 5,5902

Phương pháp giải

Đặt \(HC = x > 0\). Tính AC theo x và khảo sát hàm số tìm GTNN

Giải chi tiết

Đặt \(HC = x > 0\). Suy ra \(BC = x + 0,5\).
Áp dụng định lí Thales, ta có \(\frac{{HC}}{{BC}} = \frac{{MH}}{{AB}} = \frac{x}{{x + 0,5}}\).
Vậy \(AB = \frac{{4\left( {x + 0,5} \right)}}{x}\).
Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên suy ra \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {(x + 0,5)^2} + \frac{{16{{(x + 0,5)}^2}}}{{{x^2}}}\).
Ra rút ra \(A{C^2} = \frac{{{{(x + 0,5)}^2}\left( {{x^2} + 16} \right)}}{{{x^2}}}\).
Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + {x^3} + \frac{{65}}{4}{x^2} + 16x + 4}}{{{x^2}}}(x > 0)\).
Bài toán trở thành tìm min \(f\left( x \right)\) với \(x > 0\).
Ta có
\(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {4{x^3} + 3{x^2} + \frac{{65}}{2}x + 16} \right){x^2} - 2x\left( {{x^4} + {x^3} + \frac{{65}}{4}{x^2} + 16x + 4} \right)}}{{{x^4}}}\)\( \Leftrightarrow {\rm{\;}}f'\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + {x^3} - 16x - 8}}{{{x^3}}}\).
Vậy \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 > 0}\\{x = - \frac{1}{2} < 0.}\end{array}} \right.\)
Lập bảng biến thiên, ta có

Dựa vào bảng biến thiên, ta có .
Do đó, ta có \({\rm{min}}AC = \sqrt {\frac{{125}}{4}} = \frac{{5\sqrt 5 }}{2} \approx 5,5902\).

Đáp án cần điền là: 5,5902