Chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4 m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ xấp xỉ số đo nào sau đây:

Đặt HC = x (x > 0), từ đó suy ra BC = 0,5 + x (m).

Có MH // AB nên áp dụng hệ quả định lí Thales ta có: $\frac{\text{M}\text{H}}{\text{A}\text{B}}=\frac{\text{H}\text{C}}{\text{B}\text{C}}=\frac{\text{x}}{\text{x}+0,5}$.

Do đó, $\text{A}\text{B}=\frac{4\left(\text{x}+0,5\right)}{\text{x}}$.

Để chiều dài thang nhỏ nhất thì AC nhỏ nhất, tức là AC² nhỏ nhất.

Do tam giác ABC vuông tại B nên

AC² = AB² + BC² = (x + 0,5)² + $\frac{16{\left(\text{x}+0,5\right)}^2}{{\text{x}}^2}=\frac{{\left(\text{x}+0,5\right)}^2\left({\text{x}}^2+16\right)}{{\text{x}}^2}$.

Đặt f(x) = AC² = $\frac{{\text{x}}^4+{\text{x}}^3+\frac{65}{4}{\text{x}}^2+16\text{x}+4}{{\text{x}}^2}\left(\text{x}>0\right)$.

Bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số y = f(x) với x > 0.

Ta có: ${\text{f}}^{\prime }\left(\text{x}\right)=\frac{2{\text{x}}^4+{\text{x}}^3-16\text{x}-8}{{\text{x}}^3}$.

f’(x) = 0 (x – 2)(2x + 1)(x² + 2x + 4) = 0 $\iff [\begin{array}{l}\text{x}=2>0\\ \text{x}=\frac{-1}{2}<0\end{array}$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\underset{\left(0;+\infty \right)}{min}\text{f}\left(\text{x}\right)=\text{f}\left(2\right)=\frac{125}{4}\approx 5,5902$.

Đáp án: C.