Chi đoàn X dự định dựng một lều trại dã ngoại hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SB = 5, cạnh đáy CD = 3 căn bậc hai của 2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (với O là tâm của đáy, S
16/22
Chi đoàn \(X\) dự định dựng một lều trại dã ngoại hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên \(SB = 5\), cạnh đáy \(CD = 3\sqrt 2 \). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ (với \(O\) là tâm của đáy, \(S\) nằm trên trục \(Oz\)).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Tọa độ các đỉnh của đáy là \(C(0;3;0)\) và \(D( - 3;0;0)\).
Phương trình mặt cầu đường kính \(SC\) là \({x^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(z - 2)^2} = 25\).
Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SD\) thì độ dài đoạn \(BM = 2\sqrt 6 \).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Nếu chi đoàn muốn treo hệ thống đèn led trang trí nối từ một điểm \(E\) trên mặt phẳng \((SBD)\) đến hai điểm \(G,A\) sao cho \(|EG - EA|\) đạt giá trị lớn nhất thì tọa độ điểm \(E\) là \(E\left( { - \frac{3}{2};0;2} \right)\).
Phân tích tọa độ các điểm:
Đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a = 3\sqrt 2 \). Đường chéo \(AC = BD = a\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 6\)
Suy ra \(OA = OB = OC = OD = 3\). Dựa vào hệ trục tọa độ: \(O(0;0;0)\), \(A(0; - 3;0)\), \(B(3;0;0)\), \(C(0;3;0)\), \(D( - 3;0;0)\).
Chiều cao chóp \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\). Vậy \(S(0;0;4)\).
a) Đúng:
Tọa độ \(C(0;3;0)\) và \(D( - 3;0;0)\) hoàn toàn chính xác theo hệ trục đã chọn.
b) Sai:
Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm \(SC\): \(I = \left( {0;\frac{3}{2};2} \right)\).
Bán kính \(R = \frac{{SC}}{2} = \frac{5}{2}\). Phương trình mặt cầu chuẩn phải là: \({x^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(z - 2)^2} = \frac{{25}}{4}\).
Vế phải đề bài ghi \(25\) là sai.
c) Sai:
\(M\) là trung điểm \(SD \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{2};0;2} \right)\).
\(BM = \sqrt {{{\left( { - \frac{3}{2} - 3} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt {\frac{{81}}{4} + 4} = \frac{{\sqrt {97} }}{2} \approx 4,92\).
Giá trị \(2\sqrt 6 = \sqrt {24} \approx 4,89\). Do đó \(BM \ne 2\sqrt 6 \).
d) Đúng:
Mặt phẳng \((SBD)\) có phương trình \(y = 0\).
Trọng tâm \(G = \frac{{S + C + D}}{3} = \left( { - 1;1;\frac{4}{3}} \right) \Rightarrow {y_G} = 1 > 0\).
Điểm \(A(0; - 3;0) \Rightarrow {y_A} = - 3 < 0\).
Vì \({y_G}\) và \({y_A}\) trái dấu nên \(G,A\) nằm khác phía đối với mặt phẳng \((SBD)\).
Gọi \(A'\left( {0;3;0} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\left( {SBD} \right).\)
\(|EG - EA| = |EG - EA'| \le GA'\) đạt giá trị lớn nhất khi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(A'G\) và mặt phẳng \((SBD)\).
Ta có \(\overrightarrow {A'G} = \left( { - 1; - 2;\frac{4}{3}} \right).\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(A'G\): \(x = - t,y = 3 - 2t,z = \frac{4}{3}t\).
Với \(y = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2} \Rightarrow x = - \frac{3}{2},z = 2\).
Vậy tọa độ \(E\) đúng là \(E\left( { - \frac{3}{2};0;2} \right)\).