Câu 4: Vệ tinh hoạt động dựa trên nguyên lý của vật lý Newton. Một vật thể bị kéo bởi một lực hấp dẫn từ một vật thể khác sẽ chuyển động theo một quỹ đạo elip xung quanh vật thể đó.

Xét mệnh đề a)
Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung nên một vectơ chỉ phương của mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là \(\left( {0;\,1;\,0} \right)\) nên mệnh đề a) sai
Khi đó phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh có dạng \(y + a = 0\)
Quỹ đạo đi qua điểm \(B\left( {4032;0; - 5376} \right)\) nên \(0 + a = 0 \Rightarrow a = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là \(y = 0\)
Xét mệnh đề b)
Khoảng cách ngắn nhất từ Trái Đất đến vệ tinh là:
\(OB - R = \sqrt {{{4032}^2} + {0^2} + {{\left( { - 5376} \right)}^2}} - 6400 = 320\)km
Vậy khi xuất phát tại điểm \(B\) thì vệ tinh đang ở độ cao \(320\)km so với mặt đất nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Quỹ đạo của vệ tinh có tâm nằm trên đường thẳng \(OB\) nên tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\).
Mặt khác: \(IB = {R_{qd}} = 13440 = 2.OB\) nên \(O\) là trung điểm của \(IB\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 2{x_O} - {x_B}\\{y_I} = 2{y_O} - {y_B}\\{z_I} = 2{z_O} - {z_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - 4032\\{y_I} = 0\\{z_I} = 5376\end{array} \right.\) nên tọa độ điểm \(I\left( { - 4032;\,0;\,5376} \right)\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(K\) lên mặt phẳng quỹ đạo \(y = 0 \Rightarrow H\left( {0;0;5120} \right)\)
Khi đó: \(KH = d\left( {K,\left( {y = 0} \right)} \right) = 3840\); \(IH = \sqrt {{{4032}^2} + {{\left( {5376 - 5120} \right)}^2}} = 64\sqrt {3985} \)
Từ đó suy ra: \(NH = IN - IH = 13440 - 64\sqrt {3985} \)
Nối \(I\) và \(H\) cắt vệ tinh tại \(N\)thì khi đó:
\(K{N_{\min }} = \sqrt {K{H^2} + N{H^2}} = \sqrt {{{3840}^2} + {{\left( {13440 - 64\sqrt {3985} } \right)}^2}} \approx 10154\)(km) nên mệnh đề d) sai