Câu 4: Hệ thống phòng không “vòm sắt” là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Isarel. Để “vòm sắt” hoạt động được chính xác, người ta trang bị một Radar có khả n
16/22
Hệ thống phòng không “vòm sắt” là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Isarel. Để “vòm sắt” hoạt động được chính xác, người ta trang bị một Radar có khả năng phát hiện tên lửa với bán kính \(300\)km. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị: km), một hệ thống “vòm sắt” đang ở vị trí gốc tọa độ \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) và một quả tên lửa của đối phương được phóng lên từ vị trí \(A\left( {520; - 140;100} \right)\) bay theo một quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 40;30;0} \right)\)
Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là : \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 300\)
Radar phát hiện được quả tên lửa ngay tại vị trí nó vừa được phóng lên
Giả sử hệ thống “vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ tên lửa, khi đó vị trí cuối cùng của quả tên lửa xuất hiện trên màn hình radar có tọa độ là \(B\left( { - 40;280;100} \right)\)
Trong suốt quá trình bay, khoảng cách gần nhất từ hệ thống “vòm sắt” đến quả tên lửa bằng\(223,6\)(Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Xét mệnh đề a)
Radar có bán kính quét là \(R = 300\)km và tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\).
Phương trình mặt cầu biểu diễn vùng phủ sóng là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {300^2}\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Khoảng cách từ vị trí phóng \(A\left( {520; - 140;100} \right)\) đến radar \(O\) là:
\(OA = \sqrt {{{520}^2} + {{\left( { - 140} \right)}^2} + {{100}^2}} \approx 547,7\)km
Vì \(OA > R\) nên radar không thể phát hiện tên lửa ngay tại vị trí phóng nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Phương trình đường bay tên lửa: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 520 - 40t}\\{y = - 140 + 30t}\\{z = 100}\end{array}} \right.\)
Điểm \(B\) là giao điểm của đường bay và mặt cầu radar:\({\left( {520 - 40t} \right)^2} + {\left( { - 140 + 30t} \right)^2} + {100^2} = {300^2}\)
Giải phương trình ta được \(t = 6\) hoặc \(t = 14\)
Tại \(t = 6 \Rightarrow B\left( {280;40;100} \right)\) và tại \(t = 14 \Rightarrow B\left( { - 40;280;100} \right)\)
Vị trí cuối cùng của têm lửa là \(B\left( { - 40;280;100} \right)\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Khoảng cách gần nhất từ \(O\) đến đường thẳng quỹ đạo là: \[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}}\]
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {520; - 140;100} \right)\), \(\vec u = \left( { - 40;30;0} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\vec u} \right] = \left( { - 3000; - 4000;10000} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\vec u} \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - 3000} \right)}^2} + {{\left( { - 4000} \right)}^2} + {{10000}^2}} = 5000\sqrt 5 \)
Khi đó: \(\overrightarrow u = \sqrt {{{\left( { - 40} \right)}^2} + {{30}^2}} = 50\)suy ra \(d = \frac{{5000\sqrt 5 }}{{50}} = 100\sqrt 5 \approx 223,6\) nên mệnh đề d) đúng