Cắt hình nón (N) có đỉnh S bởi một mặt phẳng chứa trục hình nón ta dược một tam giác

48/50

Cắt hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh S bởi một mặt phẳng chứa trục hình nón ta dược một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \); BC là một dây cung của hình tròn đáy của \(\left( N \right)\) sao cho mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với đáy góc \({60^0}\). Tính diện tích S của tam giác SBC.

\(S = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)

\(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

\(S = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

\(S = \frac{{{a^2}}}{3}\)

Giải thích

Đáp án C

Phương pháp:

+) Gọi M là trung điểm của BC, xác định góc giữa (SBC) và đáy.

Cắt hình nón (N) có đỉnh S bởi một mặt phẳng chứa trục hình nón ta dược một tam giác (ảnh 1)

+) \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SM.BC\)

Cách giải: Gọi M là trung điểm của BC \( \Rightarrow OM \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Ta có: \(SM = \frac{{SO}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow BC = 2BM = 2\sqrt {S{B^2} - S{M^2}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SM.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\)