Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB
45/47
Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0<x<2π. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón.
2327πR3
227πR3
239πR3
4327πR3
Giải thích
Thể tích cái phễu là V=13πr2h
Ta có chu vi đáy là 2πr=Rx
Suy ra
r=Rx2πh=R2-r2=R2-R2x24π2=R2π4π2-x2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:
V=3R348π2x2.23π4π2-x2≤3R32.48π2x243π2+4π2-x2=3R32.48π2x2163π2-x2≤183R348π2.x2+163π2-x22=183R348π2.1629π4=2327πR3
Dấu bằng có khi và chỉ khi
23π=4π2-x2x2=163π2-x2⇔x=223π
Vậy 2327πR3 khi và chỉ khi x = 223πR3
Đáp án A