$Theo đề bài \(V = a\sqrt 2 \), ta suy ra \(a = 864\). (ảnh 1)$

Đáp án: 864

Đáy ABCD là hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là \(x\).

Vì \(C'A = C'B = C'C\) nên hình chiếu vuông góc của C' lên mặt đáy (ABC) phải cách đều 3 đỉnh A, B, C. Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) đều chính là trọng tâm G của tam giác đó.

Suy ra \(C'G \bot (ABCD)\) và C'G chính là chiều cao \(h\) của lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC. Trong \(\Delta ABC\) đều, \(AM \bot BC\) và điểm G nằm trên AM. Do đó \(GM \bot BC\).

Ta có \(BC \bot C'G\) và \(BC \bot GM \Rightarrow BC \bot (C'GM) \Rightarrow BC \bot C'M\).

Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) chính là \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta C'GM\) vuông tại \(G\), có \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow h = C'G = GM\).

Ta có \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\). Vậy \(h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Vì \(AA'\parallel CC'\) nên \(AA'\parallel (BCC'B')\). Do đó, khoảng cách \(d(AA',BC) = d(A,(BCC'B')) = 6\sqrt 3 \).

Trong mặt phẳng \((C'AM)\), kẻ \(AH \bot C'M\) tại \(H\). Vì \(BC \bot (C'AM)\) nên \(BC \bot AH\). Suy ra \(AH \bot (BCC'B')\). Khoảng cách chính là đoạn \(AH = 6\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(G\) lên C'M. Do A, G, M thẳng hàng và \(AM = 3GM\) nên \(d(A,(BCC'B')) = 3d(G,(BCC'B')) \Rightarrow AH = 3GK\).

Trong \(\Delta C'GM\) vuông cân tại \(G\): \(GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có phương trình: \(AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3 \Rightarrow GM = 2\sqrt 6 \).

Thay \(GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\) vào, ta được: \(\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6 \Rightarrow x = 12\sqrt 2 \).

Suy ra chiều cao \(h = GM = 2\sqrt 6 \).

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích \(\Delta ABC\):

\({S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(12\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 6 = 288\sqrt {18} = 864\sqrt 2 \).

Theo đề bài \(V = a\sqrt 2 \), ta suy ra \(a = 864\).

Cấp số cộng (un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Giá trị của u10 bằng 25.