Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Nghĩa muốn thiết kế một đèn lồng cao 40 cm để treo lên ở hiên nhà. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình v
16/22
Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Nghĩa muốn thiết kế một đèn lồng cao \(40{\rm{ cm}}\) để treo lên ở hiên nhà. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh \({L_0} = 10\sqrt 2 {\rm{ cm}}\). Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\). Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol \(y = f(x)\) trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục \(Oxy\) với trục \(Ox\) biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị mỗi trục là \(1{\rm{ cm}}\)).
[NB] Diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang hình vuông, vuông góc với trục thẳng đứng bằng \(196{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
[TH] Phương trình của đường cong Parabol \(y = f(x) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 14\).
[VD] Thể tích của chiếc đèn lồng đó là \(12,95{\rm{ l\'i t}}\) (làm tròn đến hàng phần trăm).
[VDC] Để đảm bảo an toàn, bác Nghĩa treo một chiếc bóng đèn sợi đốt hình cầu có tâm (được xem là một điểm) đặt trên trục thẳng đứng của lồng đèn và cách đáy \(22{\rm{ cm}}\). Bác quy định rằng để tránh làm cháy lớp giấy dán, khoảng cách từ mặt bóng đèn đến bất kỳ điểm nào trên lồng đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\). Bác có thể chọn chiếc bóng đèn có bán kính lớn nhất là \(2,8666{\rm{ cm}}\) (làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy).
a) Đáp án: SAI
Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang
Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất (\(x = 0\)) là hình vuông có cạnh \({L_{max}} = 14\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).
Diện tích của mặt cắt này là: \({S_{max}} = {({L_{max}})^2} = {(14\sqrt 2 )^2} = 196 \times 2 = 392{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2})\)
b) Đáp án: ĐÚNG
Tìm phương trình Parabol \(y = f(x) = a{x^2} + c.\)
\(f(0) = 14 \Rightarrow c = 14\).
\(f(20) = a{(20)^2} + 14 = 10 \Rightarrow 400a = - 4 \Rightarrow a = - \frac{1}{{100}}\).
Vậy phương trình là: \(y = f(x) = - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14\).
c) Đáp án: ĐÚNG
Cạnh hình vuông tại vị trí \(x\) là \(L(x) = \sqrt 2 \cdot f(x) = \sqrt 2 ( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)\).
Diện tích mặt cắt ngang tại \(x\) là \(S(x) = {[L(x)]^2} = 2 \cdot {( - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14)^2}\).
Thể tích đèn lồng là:
\(V = \int_{ - 20}^{20} S (x)dx = \int_{ - 20}^{20} 2 {\left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)^2}dx\)
\(V = 2\int_{ - 20}^{20} {\left( {\frac{1}{{10000}}{x^4} - 0,28{x^2} + 196} \right)} dx\)
\(V = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{{50000}} - \frac{{0,28{x^3}}}{3} + 196x} \right]_{ - 20}^{20} \approx 12949,33{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\)
Đổi ra lít: \(V \approx 12,95\) lít.
d) Đáp án: ĐÚNG
Ta chỉ cần xét tại nửa trên của đèn lồng chứa bóng đèn.
Tại độ cao \(x\)(so với mặt cắt ngang có diện tích lớn nhất), mặt cắt ngang của đèn là hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) có cạnh \(L(x) = \sqrt 2 \cdot f(x) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{100}}{x^2} + 14} \right)\).
Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đèn đến cạnh của hình vuông \(\left( {{H_x}} \right)\) là
\(d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{[h(x)]}^2}} = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)}^2}} \)
Xét hàm số \(g(x) = {[d(x)]^2} = {(x - 2)^2} + \frac{1}{2}{\left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)^2}\).
\(g'(x) = 2(x - 2) + \left( {14 - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right) \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{100}}} \right) = 2x - 4 - \frac{{28x}}{{100}} + \frac{{2{x^3}}}{{10000}}\)
\(g'(x) = \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4\)
Giải phương trình \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{5000}} + 1.72x - 4 = 0\), tìm được nghiệm \({x_0} \approx 2.32\).
Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là \({d_{min}} = d\left( {{x_0}} \right).\).
Theo quy định an toàn, khoảng cách từ mặt bóng đèn (cách tâm bóng đèn một khoảng \(R\)) đến thành đèn phải ít nhất \(7{\rm{ cm}}\)nên
\({d_{min}} - R \ge 7 \Rightarrow R \le {d_{min}} - 7\)
\({R_{max}} = 2,8666{\rm{ (cm)}}\)
Bán kính lớn nhất của chiếc bóng đèn được chọn là \(2,8666{\rm{ cm}}\).