Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật MNPQ có chiều dài MQ = 12 m, MN = 8 m. Để cung cấp điện cho hĉ̣ thống đèn LED,
19/22
Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật \(MNPQ\) có chiều dài \(MQ = 12m,MN = 8m\). Để cung cấp điện cho hĉ̣ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điç̂n theo trình tự: \(A \to B \to C \to O \to D \to E \to F \to H\) (như hình vẽ bên). Trong đó:
Điểm \(A\) nằm trên cột cổng cao 3 m, vị trí chân cột cách cây Nêu 3 m và chân cột nằm trên đoạn \(MQ\).
Đoạn BC nằm trên bức tường hình chữ nhật \(PQIJ\) có \(PJ = 4m\) (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài \(BC = 3m\) và \(BC{\rm{//}}IJ\).
Điểm \(O\) nằm trên mái che hình chữ nhật \(IJUV\) có \(JU = 10{\rm{\;m}}\) (mái che song song với mặt đất).
Cột đèn đặt tại góc \(N\) và điểm \(D\) nằm trên cột đèn cao \(3m\).
Điểm \(E,F\) nằm trên thân cây Nêu sao cho \(EF = 2{\rm{\;m}}\). Cây Nêu \(MG\) vuông góc với đất tại \(M\), chiều cao \(MG = 10m\).
Điểm \(H\) cách đỉnh \(G\) một khoảng \(HG = 0,5m\) (\(HG\) song song với mặt đất).
Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này. (Đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)
Đáp án: 37,1
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) hình vẽ
Ta có \(AB = 9\); \(BC = 3\).
Điểm \(C\left( {12;3;3} \right)\).
Điểm \(O\left( {x;y;4} \right);2 \le x \le 12;0 \le y \le 8\).
Điểm \(D\left( {0;8;3} \right)\). Điểm \(E\left( {0;0;z} \right);F\left( {0;0;z + 2} \right);0 \le z \le 8\)
Ta tính \(CO = \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} \).
\(DO = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} \)
\(DE = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \)
\(EF = 2;FG = 8 - z;GH = 0,5\)
Vì vậy tổng độ dài dây điện là
\(\begin{array}{l}AB + BC + CO + OD + ED + EF + FG + GH\\ = 22,5 + \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} - z\end{array}\).
Vì vậy tổng độ dài là ngắn nhất nếu cả hai điều sau xảy ra
\({\left( {CO + OD} \right)_{\min }};{\left( {ED + FG} \right)_{\min }}\).
Vì \(C,D\)nằm cùng phía với mái che, nên ta lấy điểm \(C'\left( {12;3;5} \right)\) điểm đối xứng với \(C\) qua mặt phẳng mái che.
Đường thẳng \(DC':\left\{ \begin{array}{l}x = 12t\\y = 8 - 5t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\), giao với mặt phẳng mái che tại điểm O cần tìm là \(O\left( {6;\frac{{11}}{2};4} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( z \right) = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} - z;z \in \left[ {0;8} \right]\). Ta có đạo hàm
\(f'\left( z \right) = \frac{{\left( {z - 3} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} }} - 1 < 0\). Suy ra \(f\left( z \right) \ge \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}} - 8\).
Vì vậy khoảng cách ngắn nhất là
\( = 22,5 + \sqrt {{{12}^2} + {5^2} + {2^2}} + \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}} - 8 \approx 37,1\).