Các phát biểu dưới đây đúng hay sai? a) Một nguyên hàm của hàm số

14/22

Các phát biểu dưới đây đúng hay sai?

Một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{2x}}\]là \[\frac{1}{2}\ln \left| x \right|\].

ĐúngSai

Nếu \(x > 0\) thì nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}\) là \(\ln x - \frac{3}{x} + C\)

ĐúngSai

Một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{x}\] là \[\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right).\ln \left| x \right|\].

ĐúngSai

Nếu \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 3x + 7}}{{x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)(\(a,b,c \in \mathbb{Z}\)) thì \(a + b + c = 12\).

ĐúngSai

Giải thích

a, b. Áp dụng quy tắc \[\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| + C\left( {x \ne 0} \right)\] và \[\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \int {{x^{ - 2}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{x} + C\left( {x \ne 0} \right)\]

Với \(x > 0\) ta có: \(\int {\frac{1}{{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C\) và \(\int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \ln x - \frac{3}{x} + C\).

c) \(\int {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{x}{\rm{d}}x} = \int {\left( {x - 3 + \frac{2}{x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + 2\ln \left| x \right| + C\)

Vậy mệnh đề c sai.

d) Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ta có:

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x\,\,\, \Rightarrow } \,f\left( x \right) = F'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 4x - 10}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Vậy \(a + b + c = - 4\).