Các phát biểu dưới đây đúng hay sai?

13/22

\(\int {2x{\rm{d}}x} = {x^2} + C\)

ĐúngSai

\[\int {\left( {4{x^3} + 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^4} + {x^2} + x + C\]

ĐúngSai

Hàm số \(F\left( x \right) = 5{x^3} + 4{x^2} - 7x + 10 + C\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)\[\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \(a + b + c = 30\).

ĐúngSai

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - m + 1\), \(f\left( 2 \right) = 1\) và có đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Nếu \(f\left( x \right) = a{x^4} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) thì \(a + b + c = - 7\).

ĐúngSai

Giải thích

a, b. Áp dụng quy tắc \[\int {{x^\alpha }{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)\]

và tính chất \[\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \]. Ta được:

\(\int {2x{\rm{d}}x} = {x^2} + C\).

\[\int {\left( {4{x^3} + 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = 4\frac{{{x^4}}}{4} + 2\frac{{{x^2}}}{2} + x + C\]\[ = {x^4} + {x^2} + x + C\].

c) Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ta có:

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x\,\,\, \Rightarrow } \,f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 15{x^2} + 8x - 7\).

Vậy \(a + b + c = 16\).

d) Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - \left( {m - 1} \right)x + C\)

Từ giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}C = 3\\16 - \left( {m - 1} \right).2 + C = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 3\\m - 1 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 3\\m = 10\end{array} \right.\)

Do đó: \(f\left( x \right) = {x^4} - 9x + 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 9\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = - 5.\)