Các mệnh đề sau đúng hay sai?

16/22

Với mọi \(a > b > 1\), ta có \({a^b} > {b^a}\).

ĐúngSai

Với mọi \(a > b > 1\), ta có \({\log _a}b < {\log _b}a\).

ĐúngSai

Với mọi \(a > b > 1\), ta có \({a^{a - b}} > {b^{b - a}}\).

ĐúngSai

Với mọi \(a > b > 1\), ta có \({\log _a}\frac{{a + b}}{2} < 1\).

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Xét đáp án A: \(a > b > 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^b} > {b^b}\\{b^a} > {b^b}\end{array} \right.\) nên không thể kết luận được, ta có thể chọn \(a = 5\); \(b = 2\) sẽ thấy mệnh đề sai.

Xét đáp án C: \(a > b > 1\)\( \Rightarrow {a^{a - b}} > {b^{a - b}} > {b^{b - a}}\) nên C đúng.

Xét đáp án B: \(a > b > 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b < {\log _a}a = 1\\{\log _b}a > {\log _b}b = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _a}b < {\log _b}a\) nên B đúng.

Xét đáp án D: \({\log _a}\frac{{a + b}}{2} < 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{2} < a \Rightarrow \frac{b}{2} < \frac{a}{2}\) nên D đúng.