Các giá trị của m để phương trình (cos x + 1)(cos^2 x − m cos x) = m sin^2 x có đúng 2 nghiệm x ∈ [0; 2pi/3] là (a; b]. Tính S = a + b.

30/50

Các giá trị của \(m\)để phương trình \[\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\] có đúng 2 nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]\)là \((a;b{\rm{]}}\). Tính \(S = a + b\).

\[S = - 1\].

\[S = - \frac{1}{2}\].

\[S = - \frac{3}{2}\].

\[S = \frac{1}{2}\].

Giải thích

Chọn C

Ta có \[\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\]

\[ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos 2x - m\cos x = m - m\cos x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos 2x = m\end{array} \right.\]

Với \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) : không có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]\).

Với \(\cos 2x = m \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{{m + 1}}{2}\).

Trên \(\left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]\), phương trình \[\cos x = a\] có duy nhất 1 nghiệm với \(a \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)

Do đó, YCBT \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\frac{{ - 1}}{2} \le \sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le 1\\\frac{{ - 1}}{2} \le - \sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\sqrt {\frac{{m + 1}}{2}} \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \le - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le - \frac{1}{2}\).