Các biểu thức x + y + z hay 1/x + 1/y + 1/z có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không?

Giả sử $x+y+z=0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0.$

Ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}.$

Mà $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ nên $x+y+z=0$.

Từ $x+y+z=0$ suy ra ${\left(x+y+z\right)}^2=0$ hay $x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=0.$

Vì $xy+yz+zx=0$ nên $x^2+y^2+z^2=0$, suy ra $x=y=z=0.$ Điều này vô lí vì khi đó $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$ không xác định.

Vậy các biểu thức $x+y+z$ hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ không thể cùng có giá trị bằng 0.