c) OA cắt BC tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng HB, tia OM cắt AB tại K.

c) Gọi N là trung điểm của AH

Kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BN tại P

Xét ∆BAH và ∆OBH có :

∠BHA=∠OHB=90°;∠ABH=∠BOH (cùng phụ với ∠OBH)

⇒ΔBAH∽ΔOBH(g.g)

⇒BAAH=OBBH⇒BA2AN=OB2BM⇒BAAN=OBBM  

Xét ∆BAN và ∆OBM có: BAAN=OBBMcmt,∠BAN=∠OBM (cùng phụ với ∠BOA)

⇒ΔBAN∽ΔOBM(c.g.c)⇒∠ABN=∠BOM(hai cạnh tương ứng)

⇒ΔBAP∽ΔOBK(g.g)⇒ABOB=APBK⇒BK.AB=AP.OB⇒BKAB=AO.OBAB2

Vì AP//OB⇒APOB=ANNO (định lý Ta-let)⇒AP.OB=ANNO.OB2

⇒BKAB=AN.OB2NO.AB2

Lại có OB2=OH.OA,AB2=AH.AO (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇒BKAB=AN.OHNO.AH=12AH.OHNO.AH=OH2NO

⇒ABBK=2NOOH⇒AB−BKBK=2NO−OHOH⇒AKBK=2NH+OH−OHOH=2NH+OHOH⇒AKBK=AH+OHOH=AOOH⇒KBKA=OHOA

Lại có : OHOA=OH.OAOA2=OB2OA2=cos2α

Vậy KBKA=cos2α(dfcm)