c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất

c) Ta có : MO là phân giác của ∠PMQ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

MO  là đường cao của ΔPMQdoPQ⊥OMgt

⇒ΔMPQ cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác)

⇒MO đồng thời là trung tuyến của ΔMPQ⇒O là trung điểm của PQ

⇒OP=12PQ . Ta có : SΔMPQ=12.MO.PQ=OM.OP

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMP vuông tại O có đường cao OC ta có :

1OM2+1OP2=1OC2=1R2

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương 1OM2và 1OP2 ta có :

1OM2+1OP2≥2OM.OP=2SΔMPQ⇒1R2≥2SMPQ⇔SΔMPQ≥2R2

Dấu "="xảy ra ⇔OM=OP2OM2=1R2⇔OM=OPOM=R2

Vậy SΔMPQđạt giá trị nhỏ nhất bằng 2R2 khiOM=R2