c) Đường thẳng qua B và song song với EF cắt AC tại M. Gọi I là trung điểm của BM, D là giao điểm của EI và BC. Chứng minh ba điểm A, H, D thẳng hàng.

5/17

c) Đường thẳng qua Bvà song song với EFcắt ACtại M. Gọi Ilà trung điểm của BM, Dlà giao điểm của EIvà BC.Chứng minh ba điểmA, H, Dthẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

•Xét $Δ A B C$ có hai đường cao BE, CF và cắt nhau tại IH nên suy ra IH là trực tâm của tam giác ABC nên $A H ⊥ B C$ . (1)

•Xét $Δ B E M$ vuông tại E có I là trung điểm của BM nên $I E = B I = I M = \frac{B M}{2}$ .

•Xét $Δ I E M$ có IE = IM (cmt) nên tam giác IEM cân tại I.

Suy ra . $\hat{I E M} = \hat{I M E}$ (2)

•Xét $Δ A B C$ có FE // BC suy ra $\hat{A E F} = \hat{A M B}$ (hai góc đồng vị). (3)

•Ta có $A F \cdot A B = A E \cdot A C$ suy ra $\frac{A F}{A C} = \frac{A E}{A B}$ .

•Xét $Δ A B F$ và $Δ A B C$ có:

$\hat{E A F} = \hat{B A C} (\hat{A} chung)$

$\frac{A F}{A C} = \frac{A E}{A B} (cmt)$

Do đó $Δ A E F ∽ Δ A B C (c.g.c)$ .

Suy ra $\hat{A E F} = \hat{A B C}$ (hai góc tương ứng). (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra $\hat{C E D} = \hat{A B C}$ .

•Xét $Δ C E D$ và $Δ C B A$ có:

$\hat{E C D} = \hat{B C A} (\hat{C} chung)$

$\frac{C E}{C D} = \frac{C B}{C A} (cmt)$

Do đó $Δ C E B ∽ Δ C D A (c.g.c)$ .

Suy ra $\frac{C E}{C B} = \frac{C D}{C A}$ hay $\frac{C E}{C D} = \frac{C B}{C A}$ .

•Xét $Δ C E B$ và $Δ C D A$ có:

$\frac{C E}{C D} = \frac{C B}{C A} (cmt)$

$\hat{E C B} = \hat{D C A} (\hat{C} chung)$

Do đó $Δ C E B ∽ Δ C D A (c.g.c)$ .

Suy ra $\hat{C D A} = \hat{C E B}$ (hai góc tương ứng).

Nên $\hat{C D A} = 90 °$ , do đó $A D ⊥ B C$ . (5)

Từ (1) và (5) suy ra ba điểm A, H, D thẳng hàng. (đpcm).