Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một khối tròn xoay có mặt cắt qua trục là một hình phẳng có hình dạng và các kích thướ

6/8

Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một khối tròn xoay có mặt cắt

qua trục là một hình phẳng có hình dạng và các kích thước gắn với hệ trục tọa độ $O x y$ như hình vẽ dưới đây:

Biết biên của mặt cắt gồm hai nửa đường tròn đường kính $A B, C D$ và một cung của parabol đỉnh $O$ nhận $O x$ là trục đối xứng; cho $A B = C D = 3 c m, O I = 1 c m, A D = 3 c m, M N = 2 c m$ , đơn vị trên hệ trục là $1 c m .$

a

Phương trình của parabol là $y^{2} = \frac{1}{2} x$ .

ĐúngSai

b

Diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là $14 c m^{2}$ .

ĐúngSai

c

Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức $π \int_{0}^{2} \frac{1}{2} x d x$ .

ĐúngSai

d

Thể tích của toàn bộ giá để bút (làm tròn tới hàng phần chục) bằng $65, 4 c m^{3}$ .

ĐúngSai

Giải thích

a) Phương trình chính tắc của parabol lcó dạng $y^{2} = 2 p x$ .

Do parabol đi qua điểm $M (2; 1)$ nên $1^{2} = 2 p . 2 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$ .

Vậy phương trình của parabol là $y^{2} = \frac{1}{2} x$ . Chọn đúng

b) Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính $A B, C D$ là $S_{1} = π . {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9 π}{4} (c m^{2}) .$

Diện tích hình vuông $A B C D$ là $S_{2} = 3^{2} = 9 (c m^{2}) .$

Diện tích phần giới hạn bởi parabol và đường thẳng $M N$ là $S_{3} = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{\frac{1}{2} x} = \frac{8}{3} (c m^{2}) .$

Vậy diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là $S = S_{1} + S_{2} - S_{3} = \frac{9 π}{4} + 9 - \frac{8}{3} \approx 13 (c m^{2}) .$ Chọn sai

c) Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức $π \int_{0}^{2} y^{2} d x = π \int_{0}^{2} \frac{1}{2} x d x$ . Chọn đúng

d) Phương trình đường tròn đường kính AB là ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$ . Suy ra Phương trình nửa đường tròn đường kính AB là $y = \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} - {(x - \frac{1}{2})}^{2}}$ .

Thể tích của toàn bộ giá để bút là $V = π \int_{- 1}^{2} (\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} - {(x - \frac{1}{2})}^{2}})^{2} d x - π \int_{0}^{2} \frac{1}{2} x d x \approx 65, 5 (c m^{3})$ . Chọn sai.