\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)

a) Với \(x \ne \pm 2\), ta có:

\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\)

\[ = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\].

Vậy với \(x \ne \pm 2\) ta có \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}.\)

b) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \frac{{4 - 2}}{{4 + 2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)

c) Với \(x \ne \pm 2\) và \(x \in \mathbb{Z}\) ta có: \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 4}}{{x + 2}} = 1 - \frac{4}{{x + 2}}\)

Khi đó, để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 2 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)

Ta có bảng sau:

\(x + 2\)

\( - 1\)

\(1\)

\( - 2\)

\(2\)

\( - 4\)

\(4\)

\(x\)

\((x \ne \pm 2\)

và \(x \in \mathbb{Z})\)

\( - 3\)

(thỏa mãn)

\( - 1\)

(thỏa mãn)

\( - 4\)

(thỏa mãn)

\(0\)

(thỏa mãn)

\( - 6\)

(thỏa mãn)

\(2\)

(không thỏa mãn)

\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\)

\((A\) nguyên dương)

\(5\)

(thỏa mãn)

\( - 3\)

(không thỏa mãn)

\(3\)

(thỏa mãn)

\( - 1\)

(không thỏa mãn)

\(2\)

(thỏa mãn)

Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 4; - 6} \right\}.\)

Biểu thức nào sau đây là đa thức?