Cho tam giác ABC. Gọi D và E là hai điểm trên cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Vẽ đường trung tuyến AO của tam giác ABC. Trên tia đối của tia OA lấy điểm F sao cho OF = OA. a) Chứng minh D là trọng tâm của tam giác BAF; E là trọng tâm của tam giác CAF (ảnh 1)

a) Vì \(D\) là trọng tâm của \(\Delta BAF\) nên \(AD\) là một đường trung tuyến của \(\Delta BAF\).

Vì \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\) nên \(FN = BN = \frac{1}{2}BF\). (1)

Chứng minh tương tự, ta được \(AM = MC = \frac{1}{2}AC\). (2)

Vì \(AO\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là trung điểm của \(BC\) hay \(OB = OC\).

Xét \(\Delta OFB\) và \(\Delta OAC\) có:

\(OF = OA\) (giả thiết)

\(\widehat {BOF} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(OB = OC\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta OFB = \Delta OAC\) (c.g.c)

Suy ra \(BF = AC\) (hai cạnh tương ứng) (3)

Và \(\widehat {OFB} = \widehat {OAC}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {OFN} = \widehat {OAM}\).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AM = FN\).

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta FON\) có:

\(AM = FN\) (chứng minh trên)

\(\widehat {OFN} = \widehat {OAM}\) (chứng minh trên)

\(OF = OA\) (giả thiết)

Do đó \(\Delta AOM = \Delta FON\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {FON}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {FOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {FON} + \widehat {FOM} = 180^\circ \).

Do đó, ba điểm \(M,\,\,O,\,\,N\) thẳng hàng.

Biểu thức đại số biểu thị “Nửa hiệu của x và y” là