Cho ΔABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; và M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng DA, AE, EF, FD. (ảnh 1) a) Ta có E là trung điểm AC, F là trung điểm BC nên EF là đường trung bình ΔABC

b) Ta có EF là đường trung bình ΔABC(cmt) ⇒EF//AB & EF=12AB mà D là trung điểm AB nên ⇒EF=ADEF//AD⇒ADFE là hình bình hành

Xét ΔADE có M, N lần lượt là trung điểm AD, AE ⇒MN//DE & MN=12DE

Cmtt ⇒PQ//DE & PQ=12DE⇒PQ=MN & PQ//MN⇒PQMN là hình bình hành

c) Khi ΔABC vuông tại A thì A^=90° ⇒ Hình bình hành DAEF có A^=90°nên DAEF là hình chữ nhật.

Khi A^=90° thì DAEF là hình chữ nhật => AF = DE

Mặt khác, theo tính chất đường trung bình ta có MN=12DE, NP=12AF khi đó MN = NP

=> MNPQ là hình bình hành có MN = NP nên MNPQ là hình thoi

d) ΔABCvuông tại A thì MNPQ là hình thoi. Để MNPQ là hình vuông thì MN⊥NP mà

MN // DE, NP // AF (tính chất đường trung bình)

Nên DE⊥AF mà DE // BC (tính chất đường trung bình) ⇒AF⊥BC

Suy ra ΔABCvuông tại A có AF là vừa đường trung tuyến, vừa đường cao

Nên ΔABC vuông cân tại A

Vậy ΔABCvuông cân tại A thì MNPQ là hình vuông.

Biểu thức còn thiếu của hằng đẳng thức: (x – y)2 = x2 - …..+y2 là: