Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số

Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 0,3 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\) < 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... \( = \frac{{0,3}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{3}\).

Vậy 2,(3) = 2 + \(\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\).