Biết \(y = ax + b\) (\(a \ne 0\)) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = x + \sqrt {{x^2} + 4x - 1} \). Tính \({a^2} + {b^2}\).

Hàm số xác định khi \(x \to + \infty \). Ta tìm tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \):

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = 1 + 1 = 2\).

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4x - 1} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4x - 1} - x} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {{x^2} + 4x - 1} \right) - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 4x - 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x - 1}}{{x\left( {\sqrt {1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)}} = \frac{4}{2} = 2\).

Vậy tiệm cận xiên là \(y = 2x + 2 \Rightarrow a = 2,b = 2\).

Do đó: \({a^2} + {b^2} = {2^2} + {2^2} = 8\).

Đáp số: 8.