Biết xác suất để trong ba viên bi lấy được có đủ 3 màu là 45/182, khi đó xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ là P/182. Tính P

34/35

Một hộp có chứa \(5\) viên bi đỏ, \(3\) viên bi xanh và \(n\) viên bi vàng (các viên bi kích thước như nhau, \(n\) là số nguyên dương). Lấy ngẫu nhiên \(3\) viên bi từ hộp. Biết xác suất để trong ba viên bi lấy được có đủ \(3\) màu là \(\frac{{45}}{{182}}\), khi đó xác suất để trong \(3\) viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ là \(\frac{P}{{182}}\). Tính \(P\).

Giải thích

Lời giải

Số cách lấy 3 viên bi bất kì từ hộp là: \(C_{8 + n}^3\).

Số cách lấy 3 viên đủ 3 màu là: \(C_5^1 \cdot C_3^1 \cdot C_n^1 = 15n\).

Vì xác suất để trong ba viên vi lấy được có đủ \(3\) màu là \(\frac{{45}}{{182}}\)\( \Rightarrow \frac{{15n}}{{C_{8 + n}^3}} = \frac{{45}}{{182}}\) \( \Rightarrow n = 6\).

\( \Rightarrow \) có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và \(6\) viên bi vàng.

Số cách lấy 3 bi bất kì là \(C_{14}^3\).

Để trong \(3\) viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 3 bi lấy ra không có bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_9^3\).

Trường hợp 2: 3 bi lấy ra có 1 bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_5^1 \cdot C_9^2\)

Trường hợp 3: 3 bi lấy ra có 2 bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_5^2 \cdot C_9^1\).

Vậy xác suất để trong \(3\) viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ là

\({P_d} = \frac{{C_9^3 + C_5^1 \cdot C_9^2 + C_5^2 \cdot C_9^1}}{{C_{14}^3}} = \frac{{177}}{{182}} = \frac{P}{{182}}\).

Vậy \(P = 177\).

Đáp án: 177.