Biết x1, x2 (x1 > x2) là hai nghiệm của phương trình log cơ số 3 của (x^2 − 2x + 1) / 3x + x^2 + 2 = 3x và 4^x1 + 2^x2 = a + căn bậc hai của b, với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b.

32/40

Biết \[{x_1},\,{x_2}({x_1} > {x_2})\] là hai nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}}} \right) + {x^2} + 2 = 3x\] và \[4{x_1} + 2{x_2} = a + \sqrt b \], với \[a,\,b\] là hai số nguyên dương. Tính \[a + b\]

\[a + b = 9\].

\[a + b = 12\].

\[a + b = 7\].

\[a + b = 14\].

Giải thích

Điều kiện \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}} > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).

Ta có \[{\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}}} \right) + {x^2} + 2 = 3x\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - {\log _3}3x + {x^2} + 2 = 3x\]

\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - {\log _3}x + {x^2} + 1 = 3x\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 2x + 1 = {\log _3}x + x\].

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = f\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(4{x_1} + 2{x_2} = 9 + \sqrt 5 \Rightarrow a = 9;b = 5\). Do đó \(a + b = 14\). Chọn D.