Biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (3 + căn bậc hai của 5)^x + (3 − căn bậc hai của 5)^x = 3·2^x. Giá trị của biểu thức T = x1^2 + x2^2 bằng.

Phương pháp giải

Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt \(t = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x},t > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}\).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} - 3 = 0\)   (1)

Đặt \(t = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x},t > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}\).

Khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(t + \frac{1}{t} - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}\\{t = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\left( n \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\).

Vậy \(T = x_1^2 + x_2^2 = {1^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 2\).