Biết x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ( 3 + √ 5 )^x + ( 3 − √ 5 )^x = 3 ⋅ 2^x . Tính giá trị của biểu thức T = (x1)^2 + (x2)^2

48/50

Biết \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = 3 \cdot {2^x}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = x_1^2 + x_2^2\). (nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = 3 \cdot {2^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} - 3 = 0\) (1).

Đặt \(t = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x},t > 0\).

Vì \({\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} \cdot {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = {\left[ {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right]^x} = 1\) nên \({\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}\).

Khi đó (1) trở thành:

\(t + \frac{1}{t} - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}\\{t = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(T = x_1^2 + x_2^2 = {1^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 2\).

Đáp án cần nhập là: \(2\).