Biết viên gạch là hình vuông có kích thước 60 cm; hỏi diện tích hình (H) là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
32/35
Một nhóm học sinh lớp 12 đã lên bản thiết kế mẫu hoa văn cho một loại gạch men lát nền nhà. Các em đã vẽ 4 đường cong như hình, từ đó tạo thành một hình \(\left( H \right)\) khép kín ở giữa viên gạch để tạo điểm nhấn. Cụ thể cách dựng hình được thực hiện như sau:
Ÿ Dựng hệ trục Oxy với điểm O là tâm của viên gạch, tia Ox hướng sang phải và tia Oy hướng lên trên, đơn vị trên mỗi trục là 5 cm.
Ÿ Các em lấy O là tâm viên gạch và A là trung điểm một cạnh viên gạch, xác định được điểm B thỏa mãn \(\overrightarrow {OB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {OA} \).
Ÿ Dựng đường thẳng \(\Delta :5x - 9 = 0\). Đường cong \(\left( {{L_1}} \right)\) là tập hợp các điểm M thỏa mãn \(3MB = 5d\left( {M\,,\,\,\Delta } \right)\).
Ÿ Lấy đối xứng đường cong \(\left( {{L_1}} \right)\) qua tâm O và qua các đường chéo của viên gạch thì được các đường cong còn lại.
Biết viên gạch là hình vuông có kích thước \(60\,\,{\rm{cm}}\); hỏi diện tích hình \(\left( H \right)\) là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với mỗi đơn vị trên trục bằng 5 cm.
Đường cong \(\left( {{L_1}} \right)\) là tập hợp điểm M thỏa \(3MB = 5d\left( {M\,,\,\,\Delta } \right)\) hay \(\frac{{MB}}{{d\left( {M\,,\,\,\Delta } \right)}} = \frac{5}{3}\) (1).
Phương trình \(\Delta :x = \frac{9}{5}\) (2).
Từ (1) và (2) ta thấy M thuộc một nhánh của hyperbol \(\left( {{L_1}} \right)\): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\); trong đó điểm \(B\left( {5\,;\,\,0} \right)\) là một trong hai tiêu điểm của \(\left( {{L_1}} \right)\) nên \(c = 5\).
Đường chuẩn \(x = \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{c} = \frac{9}{5} \Rightarrow a = 3\) (thử lại ta thấy \(\frac{{MB}}{{d\left( {M\,,\,\,\Delta } \right)}} = \frac{5}{3} = e\) (hợp lí)).
Do \({c^2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 4\). Phương trình \(\left( {{L_1}} \right)\):.
Xét giao điểm của \(\left( {{L_1}} \right)\) với đường thẳng \(y = x\), ta có \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{x^2}}}{{16}} = 1\,\,\,\left( {x > 3} \right) \Rightarrow x = \frac{{12\sqrt 7 }}{7} \approx 4,54\).
Từ phương trình .
Diện tích cần tính là .
Đáp án: 1168.