Biết trọng tâm của tam giác là điểm G (3;2) và phương trình đường thẳng BC có dạng x + my + n = 0. Tìm m + n

11/35

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có phương trình cạnh \(AB\) là \(x - y - 2 = 0,\) phương trình cạnh \(AC\) là \(x + 2y - 5 = 0\). Biết trọng tâm của tam giác là điểm \(G\left( {3;2} \right)\) và phương trình đường thẳng \(BC\) có dạng \(x + my + n = 0.\) Tìm \(m + n.\)

\(5\).

\(3\).

\(4\).

\(2\).

Giải thích

Lời giải

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 5 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\).

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 2x - 6\\1 = 2y - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;\frac{5}{2}} \right)\).

Gọi điểm \(B\left( {t;t - 2} \right)\). Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(C\left( {6 - t;7 - t} \right)\).

Thay tọa độ điểm \(C\) vào phương trình \(AC\) ta có phương trình \(\left( {6 - t} \right) + 2\left( {7 - t} \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 5\).

Suy ra \(B\left( {5;3} \right),C\left( {1;2} \right)\). Phương trình \(BC\) là: \(x - 4y + 7 = 0\).

Vậy \(m = - 4,n = 7 \Rightarrow m + n = 3\). Chọn B.