Biết tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\), số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 131072 có dạng \(\frac{{{2^b} - c}}{6}\). (b, c ∈ ℕ).Tính giá trị b

Đáp án: 21.

Theo bài ra ta có: \({u_1} = \frac{1}{2},\,\,{u_4} = 32\) và \({u_n} = 131072\)

\({u_4} = {u_1}{q^3} \Rightarrow 32 = \frac{1}{2} \cdot {q^3} \Rightarrow q = 4\)

\({u_n} = 131072 \Rightarrow {u_1}{q^{n - 1}} = 131072 \Rightarrow {4^{n - 1}} = {4^9} \Rightarrow n = 10\)

Khi đó tổng của cấp số nhân có 10 số hạng là:

\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {{2^{20}} - 1} \right)}}{3} = \frac{{{2^{20}} - 1}}{6}\).

Suy ra b = 20; c = 1. Do đó b + c = 21.