Biết tổng tất cả các nghiệm của phương trình (2cos^2 x - cos x)/( tan x - căn bậc hai 3) = 0 trên [0; 4pi] có dạng a pi b, a b thuộc N*, a/b là phân số tối giản. Tính a + b.

33/38

Biết tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\frac{{2{{\cos }^2}x - \cos x}}{{\tan x - \sqrt 3 }} = 0\) trên \(\left[ {0;4\pi } \right]\) có dạng \(\frac{{a\pi }}{b},\,\left( {a;\,b \in {\mathbb{N}^*}} \right),\,\,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a + b.\)

\(15.\)

\(19.\)

\(11.\)

\(13.\)

Giải thích

Chọn B

Điều kiện\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

\( \Rightarrow 2{\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\left( {{\rm{loai}}} \right)\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là\(x \ne - \frac{\pi }{3} + k2\pi \)

Vì \(x \in \left[ {0;4\pi } \right]\)nên \(x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{3}} \right\}\).

Vậy \(S = \frac{{5\pi }}{3} + \frac{{11\pi }}{3} = \frac{{16\pi }}{3}\)\( \Rightarrow a + b = 19\).