Biết tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại, khi đó lợi nhuận lớn nhất chủ cửa hàng có thể đạt được là:

Gọi \(x,y\) lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư \(\left( {x,y \ge 0} \right)\). Vì tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại nên ta có bất phương trình: \(x + y \le 100\).

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên ta có bất phương trình: \(20x + 10y \le 1200\).

Lợi nhuận dự kiến chủ cửa hàng thu được là: \(F\left( {x;y} \right) = 3,5x + 2y\) (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\20 + 10y \le 1200\\x + y \le 100\end{array} \right.\) (1) để \(F\left( {x;y} \right) = 3,5x + 2y\) (triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ bằng cách biểu diễn từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ phương trình (1), rồi lấy giao của các miền nghiệm ta được miền nghiệm của (1) là miền tứ giác \(OMNP\) với tọa độ các điểm \(O\left( {0\,;\,0} \right)\), \(M\left( {0\,;\,100} \right),N\left( {20\,;\,80} \right),P\left( {60\,;\,0} \right)\).

Tại \(O\left( {0;0} \right)\) giá trị biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3,5x + 2y\) là: \(3,5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0\);

Tại \(M\left( {0;100} \right)\) giá trị biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3,5x + 2y\) là: \(3,5 \cdot 0 + 2 \cdot 100 = 200\);

Tại \(N\left( {20;80} \right)\) giá trị biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3,5x + 2y\) là: \(3,5 \cdot 20 + 2 \cdot 80 = 230\);

Tại \(P\left( {60;0} \right)\) giá trị biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3,5x + 2y\) là: \(3,5 \cdot 60 + 2 \cdot 0 = 210\);

Suy ra tại \(x = 20,y = 80\) thì giá trị biểu thức \(3,5x + 2y\) là lớn nhất, do đó lợi nhuận lớn nhất là 230 triệu đồng. Chọn C.