Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = (m^2 x^2 - 2mx - n)/(2x - 6) (m khác 0)

Phương pháp giải:

Tìm phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Giải chi tiết:

Ta có:

             \[\frac{{{m^2}{x^2} - 2mx - n}}{{2x - 6}} = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2} + \frac{{9{m^2} - 6m - n}}{{2x - 6}}.\]

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

                             \[y = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}.\]

Tiếp tuyến của đồ thị \(y = \frac{{ - 1}}{{2x + k}}\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\[y = \frac{2}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}}(x - {x_0}) - \frac{1}{{2{x_0} + k}}.\]

Để đường thẳng

                              \[y = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}\]

luôn là tiếp tuyến của đồ thị \(y = \frac{{ - 1}}{{2x + k}}\) với mọi \(m \ne 0\),

ta được hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}} = \frac{{{m^2}}}{2},}\\{ - \frac{{4{x_0} + k}}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}.}\end{array}} \right.\)

Từ đó suy ra:

                                       \[{x_0} = \pm \frac{1}{m} - \frac{k}{2}.\]

Thay vào, điều kiện để hệ luôn có nghiệm với mọi \(m \ne 0\) dẫn đến:

                                                                  \[k = 6.\]

Vậy giá trị cần tìm là 6.