Biết tích phân x / căn bậc hai 3x + 1 + căn bậc hai 2x + 1 dx = a + b căn bậc hai 3 / 9

Phương pháp giải

Nhân liên hợp để rút gọn mẫu số sau đó áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản

Giải chi tiết

\(\int_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {2x + 1} }}} {\mkern 1mu} dx = \int_0^1 {\frac{{x\left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 1} } \right)}}{{3x + 1 - (2x + 1)}}} {\mkern 1mu} dx\)

\( = \int_0^1 {\left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 1} } \right)} dx = \left( {\frac{2}{9}{{(\sqrt {3x + 1} )}^3} - \frac{1}{3}{{(\sqrt {2x + 1} )}^3}} \right)|_0^1\)

\( = \frac{{16 - 9\sqrt 3 }}{9} + \frac{1}{9} = \frac{{17 - 9\sqrt 3 }}{9} = \frac{{a + b\sqrt 3 }}{9}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 17}\\{b = - 9}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b = 8\)

Đáp án cần điền là: 8