Biết thể tích vật tròn xoay tạo bởi miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 3 , y = − √ x + 3 , x = 1 xoay quanh trục Ox là a/b pi , ( a , b ∈ N ) , a/b là phân số tối giản.

84/100

Biết thể tích vật tròn xoay tạo bởi miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x + 3,y = - \sqrt {x + 3} ,x = 1$ xoay quanh trục $Ox$ là $\frac{a}{b}\pi ,(a,b \in \mathbb{N}),\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a + b$.

43.

46.

45.

Giải thích

Đáp án cần điền là: 2 (ảnh 1)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\[x + 3 = - \sqrt {x + 3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3 \ge 0}\\{{{(x + 3)}^2} = x + 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{ }}\sqrt {x + 3} {\rm{ }} = 0\sqrt {x + 3} = - 1 \Leftrightarrow x = - 3.\]

Xét hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt {x + 3} $ (với $ - 3 \le x \le - 2$), $y = x + 3$ (với $ - 2 \le x \le 1$), $y = 0$ và $x = 1$.

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm chính bằng thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ quanh trục Ox. Do đó:

\[V = \pi \int_{ - 3}^{ - 2} {{{\left[ {\sqrt {x + 3} } \right]}^2}} dx + \pi \int_{ - 2}^1 {{{(x + 3)}^2}} dx = \frac{{43\pi }}{2}.\]

Từ kết quả $V = \frac{{43}}{2}\pi $, ta có $a = 43$ và $b = 2$.

$ \Rightarrow a + b = 43 + 2 = 45$.

Đáp án cần chọn là: D