Biết tập nghiệm của bất phương trình log3(x + 2) + log3(x – 4) ≤ 3 là S = (a; b]. Tính giá trị của biểu thức T = (a + b)^2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 121

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x - 4 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > 4\end{array} \right.\) ⇔ x > 4

Ta có: log₃(x + 2) + log₃(x – 4) ≤ 3 ⇔ log₃(x + 2)(x – 4) ≤ 3

Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình trở thành:

(x + 2)(x – 4) ≤ 3³ ⇔ x² – 2x – 8 ≤ 27 ⇔ x² – 2x – 35 ≤ 0 ⇔ –5 ≤ x ≤ 7

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (4; 7].

Suy ra a = 4, b = 7. Giá trị của biểu thức T = (a + b)² = (4 + 7)² = 121.

Vậy T = 121.