Biết tan alpha = 2 và 180° < alpha < 270°. Giá trị cos alpha+ sin alpha bằng:

2/24

Biết \({\rm{tan}}\alpha = 2\) và \(180^\circ < \alpha < 270^\circ \). Giá trị \({\rm{cos}}\alpha + {\rm{sin}}\alpha \) bằng:

\( - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

\(1 - \sqrt 5 \).

\(\frac{{3\sqrt 5 }}{2}\).

\(\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\).

Giải thích

Ta có hệ thức: \(1 + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {2^2} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = \frac{1}{5}\).

Vì \(180^\circ < \alpha < 270^\circ \) (góc thuộc góc phần tư thứ III) nên \({\rm{cos}}\alpha < 0\) và \({\rm{sin}}\alpha < 0\). Do đó:

\({\rm{cos}}\alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Mặt khác, từ \({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = {\rm{tan}}\alpha \cdot {\rm{cos}}\alpha \):

\({\rm{sin}}\alpha = 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right) = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Giá trị của biểu thức cần tìm là:

\({\rm{cos}}\alpha + {\rm{sin}}\alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{5} + \left( { - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right) = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn A.