Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng MN và A thuộc đường thẳng d:2x + y - 1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A

15/35

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho tam giác nhọn \(ABC\). Đường tròn đường kính \(BC\) là \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{5}{3}\). Từ \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AM,AN\) đến \(\left( C \right)\) (\(M,N\) là các tiếp điểm và nằm cùng một phía đối với đường thẳng \(BC\)). Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng \(MN\) và \(A\) thuộc đường thẳng \(d:2x + y - 1 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh \(A\).

\(A\left( {1;1} \right)\).

\(A\left( {1; - 1} \right)\).

\(A\left( { - 1; - 1} \right)\).

\(A\left( { - 1;1} \right)\).

Giải thích

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {\frac{5}{3}} \).

Gọi \(J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\);

Gọi \(H\) là giao điểm của \[IA\] và \(MN\)\( \Rightarrow IA \bot MN\) tại \(H\). Theo giả thiết ta có \(J \in MN\).

Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông \(JHA,JHI,JIB\) ta được:

\(J{A^2} = A{H^2} + H{J^2} = A{H^2} + I{J^2} - I{H^2} = A{H^2} + J{B^2} - I{B^2} - I{H^2} \Leftrightarrow A{H^2} - I{H^2} = I{B^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {M{A^2} - H{M^2}} \right) - \left( {M{I^2} - H{M^2}} \right) = I{B^2} \Leftrightarrow M{A^2} = M{I^2} + I{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}\).

Suy ra \(I{A^2} = M{A^2} + I{M^2} = 2{R^2} + {R^2} = 3{R^2} = 5\).

Vì \(A \in d\) nên gọi \(A\left( {t;1 - 2t} \right)\). Ta có \(A{I^2} = 5 \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {3 - 2t} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A\left( {1; - 1} \right)\).

Vậy \(A\left( {1; - 1} \right)\). Chọn B.