Biết sin x + cos x = m. a) Tìm |sin^4 x – cos^4 x|.
Giải thích
Lời giải:
a) |sin4 x – cos4 x|
= |(sin2 x + cos2 x)(sin2 x – cos2 x)|
= |sin2 x – cos2 x|
= |(sin x – cos x)(sin x + cos x)|
= |m(sin x – cos x)|.
Ta có: (sin x + cos x)2 = sin2 x + 2sinxcosx + cos2 x nên 2sinxcosx = m2 – 1.
Do đó, (sin x – cos x)2 = 1 – m2 + 1 = 2 – m2 nên | sin x – cos x| = \(\sqrt {2 - {{\rm{m}}^2}} \).
Suy ra: |sin4 x – cos4 x| = |m| \(\sqrt {2 - {{\rm{m}}^2}} \).
b) Ta có: (sin x – cos x)2 = 2 – m2.
Vì (sin x – cos x)2 ≥ 0 nên 2 – m2 ≥ 0 suy ra m2 ≤ 2 nên |m| ≤ \(\sqrt 2 \).