Biết S1 = 27/4 và S2= m/n (hai số m, n là nguyên tố cùng nhau), tính giá trị 2m - n ta được kết quả là

Lời giải

Gọi \(a > 0\) là hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\).

Đường thẳng \(d\) có hệ số góc là \(k = \frac{{ - \frac{1}{2}{a^3} + \frac{3}{4}{a^2} + 3a}}{a} =  - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{3}{4}a + 3\).

Mặt khác \(d\) đi qua gốc tọa độ nên có phương trình là \(y = \left( { - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{3}{4}a + 3} \right)x\).

Ta có: \({S_1} = \int\limits_0^a {\left[ {\left( { - \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + 3x} \right) - \left( { - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{3}{4}a + 3} \right)x} \right]{\rm{d}}x} \)

\[ \Leftrightarrow \frac{{27}}{4} = \left. {\left[ {\left( { - \frac{1}{8}{x^4} + \frac{1}{4}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2}} \right) - \left( { - \frac{1}{4}{a^2} + \frac{3}{8}a + \frac{3}{2}} \right){x^2}} \right]} \right|_0^a\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{27}}{4} = \left( { - \frac{1}{8}{a^4} + \frac{1}{4}{a^3} + \frac{3}{2}{a^2}} \right) - \left( { - \frac{1}{4}{a^2} + \frac{3}{8}a + \frac{3}{2}} \right){a^2}\]\( \Leftrightarrow \frac{{27}}{4} = \frac{1}{8}{a^4} - \frac{1}{8}{a^3} \Leftrightarrow a = 3 > 0\).

Ta có phương trình \(d:y = \frac{3}{4}x\). Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là:

\(\frac{3}{4}x - \left( { - \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} - \frac{9}{4}x = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = 0 \vee x =  - \frac{3}{2}\).

Do đó \({S_2} = \int\limits_{ - \,\,\frac{3}{2}}^0 {\left( {\frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} - \frac{9}{4}x} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{135}}{{128}} = \frac{m}{n}\). Từ đó suy ra . Chọn C.