Biết rà̉ng với m = a/b ( a. b thuộc N , a/b tối giàn) phương trình log 3 ( 9^x/2 - 2m .3^x + 6m - 3/2)= x

Phương pháp giải

Đưa phương trình vě phương trình mũ, đặt \(t = {3^x}(t > 0)\) và đưa về phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

Ta có \(:{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{{9^x}}}{2} - 2m \cdot {3^x} + 6m - \frac{3}{2}} \right) = x \Leftrightarrow \frac{{{9^x}}}{2} - 2m \cdot {3^x} + 6m - \frac{3}{2} = {3^x} \Leftrightarrow {9^x} - 2\left( {2m + 1} \right) \cdot {3^x} + 3\left( {4m - 1} \right) = 0\)
Đặt \(t = {3^x}(t > 0)\) thì phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 2\left( {2m + 1} \right)t + 3\left( {4m - 1} \right) = 0\left( 1 \right)\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm dương phần
biệt \( \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{{{(2m + 1)}^2} - 3\left( {4m - 1} \right) > 0}\\{2m + 1 > 0}\\{4m - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1}\\{m > \frac{1}{4}}\end{array}\)
Khi đó \([\begin{array}{*{20}{l}}{t = 4m - 1}\\{t = 3}\end{array} \Rightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{{x_1}}} = 4m - 1}\\{{3^{{x_2}}} = 3}\end{array} \Rightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4m - 1} \right)}\\{{x_2} = 1}\end{array}\)
Ta có \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4m - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy \(m = \frac{5}{2}\) là giá trị cằn tìm. Giá trị của \(a + b = 7\).

Đáp án cần chọn là: C