Biết rằng, tồn tại các số dương \(a,b\) thỏa mãn: \({a^3} + {b^3} + 8 = 6ab\). Tính giá trị \(a - b\).

Đáp án: 0

Ta có: \({a^3} + {b^3} + 8 = 6ab\)

\({a^3} + {b^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 8 = 6ab + 3{a^2}b + 3a{b^2}\)

\({\left( {a + b} \right)^3} + {2^3} = 3ab\left( {a + b + 2} \right)\)

\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2\left( {a + b} \right) + 4} \right] = 3ab\left( {2 + a + b} \right)\)

\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2\left( {a + b} \right) + 4 - 3ab} \right] = 0\)

\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{a^2} + 2ab + {b^2} - 2a - 2b + 4 - 3ab} \right] = 0\)

\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{a^2} - ab + {b^2} - 2a - 2b + 4} \right] = 0\)

TH1: \(a + b + 2 = 0\) nên \(a + b =  - 2\) (loại do \(a,b > 0\)).

TH2: \({a^2} - ab + {b^2} - 2a - 2b + 4 = 0\)

         \(2\left( {{a^2} - ab + {b^2} + {a^2} - 2a - 2b + 4} \right) = 0\)

         \(2{a^2} - 2ab + 2{b^2} - 4a - 4b + 8 = 0\)

         \({a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 4b + 4 = 0\)

         \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 0\)

Suy ra \(a = b = 2.\)

Vậy \(a - b = 2 - 2 = 0.\)