Biết rằng tồn tại a ∈ Z để hàm số y = 1 x − 4 nghịch biến trên khoảng ( a ; + ∞ ) . Gọi a 0 là giá trị nhỏ nhất của a . Tính a 2 0 + 2024 .

Lời giải

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 4}}\) xác định khi \(x - 4 \ne 0\) tức là \(x \ne 4\) nên tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).

Lấy \({x_1},\,{x_2}\) là hai số tùy ý cùng thuộc mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;\,4} \right),\,\left( {4;\, + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\) ta có

\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1} - 4}} - \frac{1}{{{x_2} - 4}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{\left( {{x_1} - 4} \right)\left( {{x_2} - 4} \right)}}\).

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\).</>

Mặt khác, khi lấy \({x_1}\) và \({x_2}\) cùng nhỏ hơn 4 hoặc cùng lớn hơn 4 , ta đều có \({x_1} - 4\) và \({x_2} - 4\) luôn cùng dấu nên \(\left( {{x_1} - 4} \right)\left( {{x_2} - 4} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

Ta kết luận hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Vậy \({a_0} = 4\) và \(a_0^2 + 2024 = 16 + 2024 = 2040\).

Đáp án: \(2040\).