Biết rằng tích phân từ 0 đến x của (sin^2 t − 1/2) dt = 0 với x là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

83/100

Biết rằng tích phân \(\int_0^x {\left( {{{\sin }^2}t - \frac{1}{2}} \right)} dt = 0\) với x là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

\(x = k2\pi \;(k \in \mathbb{Z})\)

\(x = k\pi \;(k \in \mathbb{Z})\)

\(x = (2k + 1)\pi \;(k \in \mathbb{Z})\)

\(x = k\frac{\pi }{2}\;(k \in \mathbb{Z})\)

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải.

Sử dụng công thức hạ bậc và tính nguyên hàm.

Lời giải chi tiết.

Ta có. \(\int_0^x {\left( {{{\sin }^2}t - \frac{1}{2}} \right)} dt = \int_0^x {\left( {\frac{{1 - \cos 2t}}{2} - \frac{1}{2}} \right)} dt = - \frac{1}{2}\int_0^x {\cos } 2t{\mkern 1mu} dt = - \frac{1}{4}\sin 2t|_0^x = - \frac{1}{4}\sin 2x\).

Theo giả thiết. \(\int_0^x {\left( {{{\sin }^2}t - \frac{1}{2}} \right)} dt = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\;(k \in \mathbb{Z})\).