Biết rằng phương trình x^2 − m x − m^2 − 4 = 0 có hai nghiệm là x1, x2 thỏa mãn giá trị tuyệt đối của x1 − giá trị tuyệt đối của x2 = 2 và x1 nhỏ hơn x2. Tính giá trị biểu thức A = x1^2 + x2^

Để phương trình có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\] thì \[\Delta  \ge 0\] suy ra \[{m^2} + 4\left( {{m^2} + 4} \right) \ge 0 \Rightarrow 5{m^2} + 14 \ge 0\] (luôn đúng với mọi \[m\]). Do đó phương trình luôn có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\]

Theo định lý Viète ta có: \[{x_1} + {x_2} = m;{x_1}.{x_2} =  - {m^2} - 4\]

Ta có: \[\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 2\]nên \[{\left( {\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right|} \right)^2} = 4 \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 4\]

\[{m^2} - 2\left( { - {m^2} - 4} \right) - 2\left| { - {m^2} - 4} \right| = 4\] mà \[ - {m^2} - 4 < 0\] với mọi \[m\] nên:

\[{m^2} - 2\left( { - {m^2} - 4} \right) - 2\left| { - {m^2} - 4} \right| = 4 \Rightarrow {m^2} - 2\left( { - {m^2} - 4} \right) - 2\left( {{m^2} + 4} \right) = 4 \Rightarrow {m^2} = 4\]

Do đó \[A = {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\left( {{m^2} + 4} \right) = 3{m^2} + 8 = 3.4 + 8 = 20\].