Biết rằng phương trình bậc hai x^2 + x + m = 0 có hai nghiệm là x1 = căn bậc hai của 2 − 1 và x2. Tính giá trị của biểu thức A = 2025x1 − 2026x2.

Biết rằng phương trình bậc hai \[{x^2} + x + m = 0\] có hai nghiệm là \[{x_1} = \sqrt 2  - 1\] và \({x_2}\).

Tính giá trị của biểu thức \[A = 2025{x_1} - 2026{x_2}.\]

Vì phương trình có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Viète, ta có:  \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 1\\{x_1}.{x_2} = m\end{array} \right.\].

Do phương trình có nghiệm là: \[{x_1} = \sqrt 2  - 1\]. Thay \[{x_1} = \sqrt 2  - 1\] vào \[{x_1} + {x_2} =  - 1\], ta có:

\[\sqrt 2  - 1 + {x_2} =  - 1 \Rightarrow {x_2} =  - \sqrt 2 \]

Thay \[{x_1} = \sqrt 2  - 1\], \[{x_2} =  - \sqrt 2 \]vào \[A = 2025{x_1} - 2026{x_2}\], ta có:

\[A = 2025\left( {\sqrt 2  - 1} \right) - 2026.\sqrt 2 A =  - \sqrt 2  - 2025 = 2025.\sqrt 2  - 2025 - 2026.\sqrt 2 \]

Vậy \[A =  - \sqrt 2  - 2025\]