Biết rằng phương trình bậc hai x^2− 5x − 2 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn (x1 − m)^2 − 2mx2 ≥ m^2 − x2^2.

Phương trình \({x^2} - 5x - 2 = 0\) có \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2} \right) = 33 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}.\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} =  - 2\end{array} \right.\)

Ta có \({\left( {{x_1} - m} \right)^2} - 2m{x_2} \ge {m^2} - x_2^2\)

\(x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2} - 2m{x_2} \ge {m^2} - x_2^2\)

\(x_1^2 + x_2^2 - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \ge 0\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \ge 0\) (vì \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\))

Suy ra \({5^2} - 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 2m \cdot 5 \ge 0\)

\(25 + 4 - 10m \ge 0\)

\(29 - 10m \ge 0\)

\(10m \le 29\)

\(m \le \frac{{29}}{{10}}\)

Vậy \(m \le \frac{{29}}{{10}}\).